自然数（以计量事物的件数的数）
自然数
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更新时间：2023-05-26
自然数
以计量事物的件数的数
以表示事物次序的数
自然数（natural number），用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。
概念详解
自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。
一般概念
注：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。
但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
自然数集N是指满足以下条件的集合：
①N中有一个元素，记作1。
②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。
③ 1是0的后继者。
④0不是任何元素的后继者。
⑤不同元素有不同的后继者。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基数，记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。
自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3......是整数而不是自然数。自然数是无限的。
总之，自然数就是指大于等于0的整数。当然，负数、小数、分数等就不算在其内了。
性质特点
1.对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：
如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么
，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
同理，乘法运算“×”定义为：
自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。
2.有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。
3.无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。
对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如:
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。
4.传递性：设
都是自然数，若
，那么
。
5.三岐性：对于任意两个自然数
，有且只有下列三种关系之一：
或
。
6.最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5，例如所有形如nm（
，m，n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间
是实数集合的非空子集，它也没有最小数。
具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。
主要分类
争议内容
0的来由
0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。0在我国古代叫做金元数字，(意即极为珍贵的数字）。0这个数据说是由印度人在约公元5世纪时发明，在1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字……”。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐被西方人所认同，才使西方数学有快速发展。0的另一个历史：0的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫。玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。
0
0的性质
0既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。当某个数X大于0（即
）时，称为正数；反之，当X小于0（即
）时，称为负数；而这个数X等于0时，这个数就是0。
0既不是正数也不是负数，而是介于-1和+1之间的整数。
0是偶数。
0的绝对值是其本身，即，
。
0乘任何实数都等于0，除以任何非零实数都等于0,任何实数加上0等于其本身。
0的正数次方等于0，0的负数次方无意义，因为0没有倒数。
0的0次方是悬而未决的，在某些领域定义为1，某些领域未定义。不定义的理由是以连续性为考量，不定义不连续点。
0不能做对数的底数和真数。
0也不能做除数、分数的分母、比的后项。
0不可作为多位数的最高位。
当0不位于其他数字之前时表示一个有效数字。
0的阶乘等于1。
0是正数和负数的分界点。
任何数乘0都得0。
0是最小的自然数。
分式中分母为0无意义。
在复数集中，0是模最小的数，而且是唯一一个无辐角定义的元素。
定积分中，积分上限和下限相等时，积分值始终为0。
应用举例
1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。
任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。
2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式
第1条射线和其它射线组成(
)个角，第2条射线跟余下的其它射线组成(
)个角，依此类推得到式子
3、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应用了自然数列的前n项和公式
第1个点和其它点组成()条线段，第2个点跟余下的其它点组成()条线段，依此类推同样可以得到式子
任何一自然数，可代入下公式，等式始终成立：
参考资料
[1]
李高; 常秀芳 . 关于自然数定义的商榷 : 山西大同大学学报(自然科学版) ，2019-02 . 22 .
[2]
0是最小的自然数吗-星火网校 · 星火网校[引用日期2021-12-06]
[3]
自然数是什么数，自然数与整数有什么区别-星火网校 · 星火网校[引用日期2021-12-06]
[4]
李元星; 潘峰 . 关于0是自然数的探讨 : 教育实践与研究 ，2004-01 . 64 .
[5]
中国科学院 . 自然辩证法通讯 : 中国科学院自然辩证法通讯杂志社 ，2009-09 . 96 .
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