广义幂指函数(广义幂指函数)
在幂指函数y=x^x=x^^2的基础上,继续y=x^^x=x^^^2拓展得到的函数体系。
power-exponential function
既像幂函数 又像指数函数
引入
连续相同加数的加法简写成乘法,比如5+5+5=5×3;6+6+6+6+6=6×5。
连续相同乘数的乘法简写成幂函数,比如5×5×5=5^3;6×6×6×6×6=6^5。
那么,连续相同幂指函数的简写呢?比如5^(5^5)?比如6^(6^(6^(6^6)))?能不能继续推广?
可以继续推广,且相同的底数和指数的幂指函数可以简写为新的函数:
x^x=x^^2 ,这里的“2”指的是有两个x进行“^"运算,依次类推,x^(x^x)=x^^3 , x^(x^(x^x))=x^^4…… 那么,上述的5^(5^5)=5^^3;6^(6^(6^(6^6)))=6^^5。
那么,能不能继续推广?
继续形式上推广,即可得:
x^^x=x^^^2 , x^^(x^^x)=x^^^3,x^^(xx^^(x^^x))=x^^^4……
x^^^x=x^^^^2,x^^^(x^^^x)=x^^^^3,x^^^(x^^^(x^^^x))=x^^^^4……
这里用“^”个数的不同,来区别简写的层次,“^”的个数称为“阶数”,后面的数字是次数。
为了降低高阶高次书写的繁琐,用CuiMaP(bx,ix,cx,px)表示上述运算,其中bx是重复的底数(代码b,上文中的x),ix是重复的次数称指数(代码i,上文中的N),cx是“^”的个数称阶数(代码c),运算的值px称为幂数(代码p)。另一个建议的写法是底数写在左边,指数写在右上角,阶数写在右下角。
但是,这种定性的描述的缺点是:指数、底数、阶数是正自然数的时候是便于理解的,至于当有的数不是正自然数的时候,就不那么显然甚至是无定义的了。
定义
满足以下条件的函数CuiMaP(bx,ix,cx,py)为cui幂函数(也称为广义幂函数):
(1) CuiMaP(bx,ix,cx=1,py)=bx^ix;
(2) CuiMaP(bx,ix,cx,py2)=CuiMaP(bx,CuiMa(bx,ix-1,cx,py1),cx,py2);
(3) CuiMaP(bx,2,cx,py)=CuiMaP(bx,bx,cx-1,py);
其中,(1)给出了CuiMaP函数和幂指函数的关系,(2)和(3)是递推公式:(2)给出了同阶高次到低次的转化公式,(3)给出了高阶到低阶的转化公式。
假设
为了运算比如CuiMaP(256,0.5,2,py3)和CuiMaP(256,0.75,2,py4)之类的分数底数、指数,引入如下假设:
CuiMaP(CuiMaP(bx,ix,cx,py1),1/ix,cx,py2)中某个bx=py2成立。
应用
求解上述py3和py4的过程如下:
因为4^4=256,所以CuiMaP(256,0.5,2,py3)中py3=4;
因为CuiMa(2,3,2,16),根据假设,所以CuiMa(16,1/3,2,2),根据定义,得CuiMa(16,4/3,2,256),再根据假设,所以CuiMa(256,3/4,2,16)成立。
研究展望
1)用广义幂指函数表示超越数
利用 a^^b 其中a、b为有理数表示pi、e之类的超越数。因为b=3时 a^(a^a) 中,a为不为0、1的有理数,a^a 为无理代数数,所以 a^(a^a) 根据 格尔丰德-施耐德定理,为超越数。
2)下一步对CuiMa的研究
如何把研究对象扩展到实数乃至复数域,如何把阶数拓展到实数域,是下一个研究方向。
3)对代数基本定理的启示
代数基本定理没有纯代数的证明,说明现有体系的问题:现有的代数,均基于二阶以下CuiMa,而现有的几何,需要推广到复立体。