希尔伯特23问（1900年提出的代数问题）
希尔伯特23问
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更新时间：2023-05-26
希尔伯特23问
1900年提出的代数问题
希尔伯特23问，拼音为xī ěr bó tè èr shí sān wèn，是指在1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。
荣誉
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
问题解决情况
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
两点间以直线为距离最短线问题
（未解决，最好成绩1973年前苏联数学家波格列洛夫）
此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
丢番图方程的可解性
（1970年前苏联数学家IO.B.马季亚谢维奇证明该问题错误）
能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。
证明某类完备函数系的有限性
（1958年日本数学家永田雅宜证明错误）
这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
半正定形式的平方和表示
（1927年德国数学家阿廷已解决）
一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
给定单值群微分方程解的存在性证明
（1905年德国人希尔伯特和1957年美国人罗尔已解决）
具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
素数问题
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。2018年9月，美国人迈克尔·阿蒂亚宣布他证明了黎曼猜想。哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果属于另一位中国数学家张益唐。2013年5月，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，发现存在无穷多差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个此前没有数学家能实质推动的著名问题的道路上迈出了革命性的一大步。目前这一差值已被缩小至246.
用只有两个变数的函数解一般的七次方程
（未解决，最好成绩属于1964年的维士斯金）
七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
用全等多面体构造空间
（未解决，最好成绩属于1928年莱因哈特）
由德国数学家比勃马赫（1910）、莱因哈特（1928）作出部分解决。
正则变分问题的解是否一定解析
（未解决）
对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
代数曲线和代数曲线面的拓扑问题
（未解决）
这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
舒伯特计数演算的严格基础
（未解决）
一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。
一般边值问题
（未解决）
这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
由自守函数构成的解析函数的单值化
（未解决，最好成绩属于1907年克伯）
它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
变分法的进一步发展出
（未解决）
这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
意义
希尔伯特认为数学发展的动力在于解决那些有价值的问题。事实上，在他的文章中不止提出了这23个问题。比如：他提出伯努利最速下降线问题促使变分法成型，费马大定理的研究给出了理想数理论，三体问题是庞加莱发展新的天体力学方法的原动力，等等。他自己也希望他提出的问题能够像上述问题一样产生大量好的数学。现在回顾他的问题，应该说绝大多数都能达到他的希望，但也有一些比较模糊的问题，比如第四问题，还有事实上不能得到答案的问题，比如第六问题。希尔伯特广博的学识使他的问题涵盖数学极大的范围，然而在20世纪拥有特殊地位的拓扑学并没有相应的问题。由于希尔伯特个人巨大的影响，使得许多数学家研究他的问题，很大程度上促进了数学的发展。还有些问题至今没有解决，最有名的当然是黎曼猜想，这都成为了人们殚心竭虑的焦点。在此我不一一罗列那些无论是肯定还是否定他初始问题的结果，而要说说它们更重要的影响是让数学家明白提出有吸引力的问题是多么重要。二十世纪依然有很多重要的问题，比如Weil猜想，或多或少它们的提出都受希尔伯特问题的影响。
