素数定理（算术基本定理）
素数定理
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更新时间：2023-05-26
素数定理
算术基本定理
素数定理（prime number theorem）是素数分布理论的中心定理，是关于素数个数问题的一个命题：设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数，当x→∞时，π(x)～Li(x)或π(x)～x/ln(x)。（Li(x)为对数积分）
定理定义
下面是对
更好的估计：
（如图所示）
素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：
它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是
。这定理的式子于1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(JacquesHadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，下式与黎曼猜想等价：
在1948年, 塞尔伯格和保罗·埃尔德什首次给出素数定理的初等证明。
定理内容
下面是对更好的估计:
。其中，
，是误差估计，详见大O符号。 下表比较了
和
：
x | π(x) | π(x) - x/ln(x) | Li(x) - π(x) | x/π(x) |
10 | 4 | 0 | 2 | 2.500 |
10 | 25 | 3 | 5 | 4.000 |
10 | 168 | 23 | 10 | 5.952 |
10 | 1229 | 143 | 17 | 8.137 |
10 | 9592 | 906 | 38 | 10.430 |
展开表格
素数定理可以给出第n个素数
的渐近估计：
。它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是
。
发展历史
大约在1792年，高斯（即约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，Johann Carl Friedrich Gauß）经过深入分析和例证，对素数分布提出猜测：。但高斯未将自己的猜测公诸于世。1798年，法国数学家勒让德（即阿德利昂·玛利·埃·勒让德，Adrien-Marie Legendre）的《论数论》（Essay on the Theory of Numbers）出版。书中，勒让德在自己所作的某些素数计算的基础上猜想：。其中，常数A和常数B待定。1808年，勒让德把这个猜想改进为。显然，高斯和勒让德提出的渐进公式是等阶的，实际上都等同于猜想（不过高斯更深刻和精确），即素数定理。
之后，俄国数学家切比雪夫（即帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫，ПaфHутий Лbвович Чебышев）证明： 存在两个正常数
和
，使不等式对充分大的x成立，并且相当精确地定出了和的数值。他还证明，如果的极限存在，则必定是1。
初等证明
一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。
验证推导
除2、3之外，所有
都可置于一条坐标上，将
分布在左边，那么中心点为1，右侧为
。反正则中心点为-1。坐标上的每个数字产生一条波形，未被覆盖的点就是素数。波长等于数字自身。
